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なぜ、分数の割り算は逆数にして計算するの・・?

なぜ、分数の割り算は逆数にして計算するの・・?

って小学生に聞かれたら、どのように説明をしますか?
2/5÷3/4 =2/5×4/3
ってのです。

投稿日時 - 2014-01-03 22:42:41

QNo.8412339

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回答(9)

 どうも解決しないようですね。少なくとも私は説明がうまくできていないようです。すみません。

 ちょっと思い切ったやり方に変えてみます。それは「分数は割算と同じ」ということです。1/2は1÷2です。小数の答えはどちらも0.5ですね。それは当たり前で、分数を小数に直すときは、割算を使うのでした。

 だから、分数記号を割算記号に置き換えればいいのです。ただし、分数は数字を二つ使って一かたまりの数ですから、カッコをつけておくといいです。

2/5÷3/4
=(2÷5)÷(3÷4) ←分数を割算に直した
=2÷5÷3×4 ←カッコを外してみた(÷のカッコの中の÷は×になる点に注意)
=2÷5×4÷3 ←順序を入れ替えてみた
=(2÷5)×(4÷3) ←カッコでくくってみた(×のカッコに中に÷を入れても変わらない)
=2/5×4/3 ←割算を分数にしてみたら、逆数の掛算になっている

P.S.

 他の回答者様も仰っておられますが、割算は分数でなくても逆数の掛算で全く同じに表せます(ただし、あまり付きで答を求めないとき)。

 このとき、自然数であっても分数で表してみるといいかもしれません。2÷5だとすると、(2/1)÷(5/1)という具合です。(2/1)÷(5/1)=(2/1)×(1/5)となります。

 これは、最初の(2/1)÷(5/1)が、分母が1でなくても全く同じに成り立ちます。1で成り立つことは、分母が0以外の、どんな数でも成り立つ。それが算数のいいところです。

投稿日時 - 2014-01-20 19:09:50

ANo.8

これは中学校の範囲ですが・・
>分数の割り算は逆数にして計算するの・・?
 いいえ、すべての割り算は逆数にしてかけるのです。
 6÷3 は、6×(1/3) でしょ!!

 小学校--学年によって異なりますが--分数は、「部分の何倍か」として学びます。
1) 掛け算は、繰り返し同じ数を加えることを意味します。
  2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2×5 = 10
2) 割り算は、ある数の中にそれが何個含まれているかです。
  10 ÷ 5 = (2 + 2 + 2 + 2 + 2) = 5
3) 分数は、1よりも小さい部分
  1 = (1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5) = (1/5)×5
4) 上記を見るとわかるように、割り算とは逆数の掛け算です。
  10 ÷ 5 = 10×(1/2) = 2
  1 ÷ 5 = 1×(1/5) = 0.2

>分数の割り算は逆数にして計算するの・・?
 ではなくて、すべての割り算は逆数にしてかけるのです!!
  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
  10÷2 とは、10×(1/2)と同じように・・・

ちなみに逆数とは、掛け合わせると1になる数のこと。負数とは加えると0になる数。それによって、すべての加減乗除は、掛け算と足し算で表される。
 そうして初めて、小学校のときの2個×5皿の計算が、5×2と計算してもよくなる。数でない何かわからない数でもね。A÷B≠B÷A ⇒ A×(1/B)=(1/B)×A、A-B≠B-A ⇒ A+(-B)=(-B)+A とね。
 でも、これらは中学校になってから、きちんと学びましょう。

 今は、(すべての)割り算って逆数をかけることと同じことだよね。で良いでしょう。

投稿日時 - 2014-01-04 11:37:43

ANo.7

3/4は3×1/4だから、3/4で割るってことは、3で割って、それから1/4で割ることと同じ。
3で割ると、分母が3倍される。
1/4で割るということは、1の中に1/4は4つあるのだから、結局、分子が4倍されるのと同じ。
すると、結局、分母が3/4の分子倍されて、分子が3/4の分母倍されるのだから、ひっくり返して(逆数にして)かけるということになる。
こんな説明でどうかな。
1/4で割る仕組みは、かなりの高難度。機械的に逆数を使っていると、まず知らないでしょう。

投稿日時 - 2014-01-04 10:49:13

 #5です。すみません、別解の方を書き間違えました。

誤>[別解]
誤> 分数同士の割算は分子同士、分母同士を掛ければいいのです(これは公式としてしまいます)。

正>[別解]
正> 分数同士の割算は分子同士、分母同士を割ればいいのです(これは公式としてしまいます)。

 お詫びして、以上のように訂正します。

投稿日時 - 2014-01-04 05:46:56

 分数の割算は、分子を割ってしまえばいいのです。(2/5)÷2なら半分にするわけですから、(2÷2)/5=1/5です。

 その2を2/1と考えてもいいですから、2/1が3/4であってもいいわけです。

 すると、(2/5)÷(3/4)={2÷(3/4)}/5となります。

 2÷(3/4)ですが、余りを使わない割算は、割られる数と割る数に同じ数を掛けても答えは変わらないのでした(小学校では既に習っているはず)。

 4÷2=2は、左辺の数をそれぞれ2倍しても、8÷4=2で答えは同じです。

 2÷(3/4)も、それぞれに4を掛けても答えは同じです。だから、(2×4)÷3とできます。

 元の分数に戻すと、{(2×4)÷3}/5となります。

 ここでさらに、分数は分母と分子に同じ数を掛けても値が変わらないことを思い出します。それは、分数の加減算での通分で既に習っているはずです。

 {(2×4)÷3}/5で、分子と分母に3を掛けてみましょう。

 [{(2×4)÷3}×3]/(5×3)={(2×4)÷3×3}/(5×3)={(2×4)×3÷3}/(5×3)
 =(2×4)/(5×3)
 =(2/5)×(4/3) ←分数の掛け算のやり方を逆にたどって、二つの分数にした

 結局、割る数の分数を分子・分母を入れ替えた逆数で掛ければいいとなります。

[別解]
 分数同士の割算は分子同士、分母同士を掛ければいいのです(これは公式としてしまいます)。

 (2/5)÷(3/4)=(2÷3)/(5÷4)
 =(2÷3×3)/(5÷4×3) ←分子・分母に3を掛ける
 =2/(5÷4×3) ←分子を計算
 =(2×4)/(5÷4×3×4) ←分子・分母に4を掛ける
 =(2×4)/(5×3) ←分母を計算
 =(2/5)×(4/3) ←分数の掛け算のやり方を逆にたどって、二つの分数にした

投稿日時 - 2014-01-04 05:44:42

私思いますに、子供がこの疑問を持つ根本は、「なぜ、整数や小数の割り算ではそんなことをしないのに、分数だけ逆数にして計算するのか?」と言う点にあるような気がしています。その観点から説明します。

基本は、整数だろうが小数だろうが分数だろうが、四則演算のやり方は共通です。
つまり、分数の場合でも、別に絶対に逆数にして掛けなければならないと言う規則はありません。ふつうに割ってもOKです。
一方で、「逆数にして掛ける」と言う方法は、別に分数に限らず、整数や小数の計算でも使えます。
まずはこのことを納得してもらうのが、「分数だけ特別なことをしている」と言う誤解を解くためには良いような気がします。

例えば、 21/40÷7/5 のような問題は、ひっくり返したりせず、そのままいきなり分子の割り算と分母の割り算を実行した方が、3/8と言う答えを一瞬で出すことができます。(普通の子は、学校では「分数はひっくり返して掛けなければいけない」と強迫観念のように教えられるので、このような問題でもわざわざひっくり返して掛けてしまうことが多いですが・・・。)

しかし、残念ながら、それで簡単に答えを出せるケースは実際には少なく、一般的には分数の割り算を直接実行してしまうと繁分数(分数の分数)になってしまいます。例えば、出された例の場合で言うと、真正面から割っていったら、分子が2/3、分母が5/4になってしまう訳です。

しかしそれでも、更に分子と分母の両方に3と4の最小公倍数12をかけてやれば、最後には正解の8/15にたどりつくことができます。このやり方は、「ひっくり返して掛ける」と言うことをしてませんが、別に数学的に間違っている訳ではありません。(私個人的には、分数の割り算に入った段階では小学生と言えどもリンゴを幾つに分けました的な思考からより抽象的な思考に移行していると思いますので、意外にこちらのやり方の方が受け入れられやすいような気がします。)

ここまでやったところで、分数の割り算の場合、繁分数を経ないで、もっと簡単に正解(と言うか簡単な表現形態)にたどりつける方法が登場してきます。それが、「割り算をするかわりに、割る数の逆数を掛ける」と言う方法です。ここで留意しておくべきことは、上に述べたように「割り算の代わりに逆数を掛ける」と言う方法は、別に分数に限らず、整数や小数でも使えると言うことです。

例えば、A×B=1となる場合のAとBはお互いに逆数の関係にありますので、1の逆数は1、2の逆数は0.5、4の逆数は0.25になります。

この関係を使うと、10÷0.25=10×4=40 と言うように、分数でなくても、「逆数を掛ける」ことで、割り算を掛け算に変換することができます。

しかし、実際には整数や小数の割り算で逆数を使うことは殆どなく、一方で、分数の割り算では、殆どの場合、「逆数を掛ける」と言うやり方が使われます。なぜそうなるかと言うと、分数はひっくり返すだけで逆数を簡単に見つけることができるのに対し、整数や少数は逆数を直観的に求めにくいし、そのメリットも少ないので、そんなことはあまりしないのです。(と言うか、なぜ、小数や整数で全ての有理数を表記することができるのに、わざわざ分数と言う別の表現を用いるのかと言う理由が実はここにある訳です。)

以上の話は、分数を習い始めた小学3~4年には正直まだ難しいかもしれませんが、「なぜ分数だけそんなことをするのか?」と言う疑問(素晴らしい疑問だと思います!)が芽生えだした子供なら、たぶん、ごまかさないで、こういう説明をした方が良いと思います。

投稿日時 - 2014-01-04 00:24:02

ANo.3

【6】大人が学ぶ直す数学
【初等代数】分数の割り算はなぜ分母分子をひっくり返すのか
http://oto-suu.seesaa.net/article/160537487.html

【7】道草学習のすすめ
分数の割り算、ひっくり返してかけるのはなぜ? ~ドラえもんグッズの威力~
http://blog.livedoor.jp/yoursong2005/archives/50621680.html

【8】分数の割り算
http://www.geomexca.org/research/mathematics/2007/1124/1124.html

などなど無数に説明があります

投稿日時 - 2014-01-03 22:54:28

ANo.2

自分で説明するの大変なので、

【1】分数の割り算はなぜひっくり返すのか
http://www.geocities.jp/two_well/bunsuu.html

【2】★☆プロ家庭教師によるきっかけブログ☆★
【なぜ、分数の割り算はひっくり返してかけるのか。】
http://radicalbootleg.seesaa.net/article/153972023.html

【3】 Yahoo! 知恵袋
分数で割り算をする時、何で割る数をひっくり返すの? 
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n64021

【4】
なぜ分数の割り算はひっくり返すのか?
―数学ギライも図に描けばすぐ理解できる
板橋 悟 (著)

投稿日時 - 2014-01-03 22:51:08

ANo.1

ソウカモシレナイケレド・チハオケウ。

投稿日時 - 2014-01-03 22:47:02

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