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数学III積分

(1)∫0→1 x/(2-x^2)^2 dx
答え…1/4

(2)∫0→a 1/(x^2+a^2)^2 dx
答え…π+2/8a^3

(3)∫0→1 x^3/√1+x^2 dx
答え…-√2/3+2/3

(4)∫1→2 1/e^-1 dx
答え…log e+1/e


友達も解けませんでした
計算過程を教えてください!

投稿日時 - 2014-01-05 16:04:11

QNo.8414996

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回答(3)

ANo.3

(1)
I=∫[0→1] x/(2-x^2)^2 dx
x^2=tとおき置換積分すると
 2xdx=dt
 x:0→1のとき t:0→1
なので

I=∫[0→1] (1/2)/(t-2)^2 dt
=(1/2)[-1/(t-2)][0→1]
=(1/2)[1-(1/2)]=1/4 ←(答え)

(2)
a>0としておきます。
I=∫[0→a] 1/(x^2+a^2)^2 dx
x=atとおいて置換積分すると
 dx=adt
 x:0→aのとき t:0→1
I=(1/a^3)∫[0→1] 1/(t^2+1)^2 dt
=(1/(2a^3))∫[0→1] 2/(t^2+1)^2 dt
ここで
{t/(t^2+1)}' ={1/(t^2+1)}-2{t^2/(t^2+1)^2}={1/(t^2+1)}-2{(t^2+1-1)/(t^2+1)^2}
={1/(t^2+1)}-2[{1/(t^2+1)}-{1/(t^2+1)^2}]
=-{1/(t^2+1)}+{2/(t^2+1)^2}
であることを利用すれば
I=(1/(2a^3))∫[0→1] [{1/(t^2+1)}+{t/(t^2+1)^2}'] dt
公式∫1/(t^2+1)dt=tan^-1(t)+Cを用いて
I=(1/(2a^3))[tan^-1(t)+{t/(t^2+1)}][0→1]
=(1/(2a^3))[(π/4)+(1/2)]
=(π+2)/(8a^3) ←(答え)

(3)
I=∫[0→1] x^3/√(1+x^2) dx

1+x^2=tとおいて置換積分 2xdx=dt
=∫[1→2](t-1)/t^(1/2)dt/2
=(1/2)∫[1→2]{t^(1/2)}-{t^(-1/2)}dt
=(1/2)[(2/3)t^(3/2)-2t^(1/2)][1→2]
=(1/2)[(4/3)(√2)-(2/3)-(2√2)+2]
=(2-√2)/3 ←(答え)

(4)
I=∫[1→2] 1/((e^x)-1) dx
であるなら

I=∫[1→2] 1/((e^x)-1) dx
=∫[1→2] e^(-x)/(1-e^(-x))dx
=[log(1-e^(-x))][1→2]
=log(1-e^(-2))-log(1-e^(-1))
=log{(e^2-1)/(e(e-1))}
=log{(e+1)/e} ←(答え)
(logは自然対数、eはネイピア数)

投稿日時 - 2014-01-06 09:48:26

ANo.2

(1)と(3)について回答します。
(4)については、式がおかしいと思いますが(xが含まれていません。)

(1)∫0→1 x/(2-x^2)^2 dx

2-x^2=tとおくと
-2xdx=dt
xdx=-dt/2

∫x/(2-x^2)^2 dx
=-1/2∫1/t^2 dt
=1/2t+C
=1/2(2-x^2)+C
よって
∫0→1 x/(2-x^2)^2 dx
=[1/2(2-x^2)]【1】-[1/2(2-x^2)]【0】
=1/2-1/4
=1/4

(3)∫0→1 x^3/√1+x^2 dx

√1+x^2=tとおくと
1+x^2=t^2
2xdx=2tdt
xdx=tdt

∫x^3/√1+x^2 dx
=∫(t^2-1)dt
=1/3t^3-t+C
=1/3(√1+x^2)^3-(√1+x^2)+C

よって
∫0→1 x^3/√1+x^2 dx
=[1/3(√1+x^2)^3-(√1+x^2)]【1】-1/3(√1+x^2)^3-(√1+x^2)【0】
=(2√2/3-√2)-(1/3-1)
=-√2/3+2/3

投稿日時 - 2014-01-05 20:06:05

ANo.1

答えは本当ですか?
(1)7/48
(2)(3)は確認していません。
(4)e
と、なりません?

投稿日時 - 2014-01-05 16:40:59

補足

確認しましたが、答えは本当でしたよ!

投稿日時 - 2014-01-05 17:04:11

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