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解決済みの質問

給排水算の公式について

給排水算
・あるタンクに水が一定の割合で流入している。この時、ポンプを設置して排水するとポンプX台なら●分、Y台なら▼分でそれぞれタンクが空になる。どの場合も給排水開始前のタンク内の水量が一定だとすると、◆分で空にするには何台のポンプが必要か~
といったような問題を解く公式として、
1(もとの水量)×A(リットル/分)×t(分)=B(リットル/分)×n(ポンプ台数)×t(分)
の場合に空になる、と説明されました。
これを覚えておけば問題そのものは解けるのですが・・・根本的なところを理解できていないようで、どうにもしっくりきません。
なぜ「もとの水の量」は実際の量(リットル)ではなく1とおかれるのでしょうか?

投稿日時 - 2014-05-09 19:00:37

QNo.8588077

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

#1、2です。以下回答いたします。

> 1というのは実際の数字ではなく、例の式では「元々入っていた水の量」を示す記号、ということでしょうか。

その通りです!
広い意味での記号、と思っておいていただいてけっこうです。(1)、(1)、ということですね。
これを比率と呼んでいます。
「何を基準とするか」の、基準の部分です。

例えば1ヶ月の小遣いが6万円の人がいると、
1日に使って良い金額は 1/30 という目安を出すことができます。
(1) が 60000円 なら、
(1/30) は 2000円になります。

60000円 x 1/30 =   2000円
もとの数      割合     比べる数

60000円 x    1 =  60000円
もとの数      割合     比べる数

60000円 x    2 = 120000円
もとの数      割合     比べる数

60000円 x  1/2 =  30000円
もとの数      割合     比べる数

給排水の問題でも、「比率を使って解かないといけない場合がある」ということなのです。
全体を1とおかなくても良いのですよ、
人によって
全体を2とおいたり
全体を10とおいたり
比率は自由です、自分で決めるのです、答えは変わりません。
その場合、数字が全体的に 2倍 になったり、10倍になったりします。

この説明は、混乱しそうならスルーしてください。
人によって何を1とおくかが違うので、同じ問題でも本によって書いてある数字が違う、ということを念の為説明しました。

60000円 を 「30」とおく人の場合、
「1」は 2000円になります。

60000円 ÷ 「30」 = 2000円
比べる数      割合     もとの数

2000円 x   「2」 = 4000円
もとの数      割合     比べる数

2000円 x 「1/2」 = 1000円
もとの数      割合     比べる数


仕事算でも同じ考え方がもととなっています。それはここでは割愛します。
何でも ○○を1(基準)とすると と考えるクセを付けてみてください。


> 例えばA(リットル/分)が、「1」の式で解いた時に1/105だったとして、これは「1リットル給水するのに105分かかる」ではなく「元々入っていた水の量と同じリットル量だけ給水するのに105分かかる=1分間で、元々入っていた水の量の1/105にあたる分量の水を入れることができる」ということ、だと理解しました。

「「1」の式」というのは
もとの水量1+a(○/分)×t(分)=b(○/分)×n(台)×t(分)
のことですね?
考え方合っていますよ! ◎
(解いたとき、という言い回しはおかしいですが(解くというのは t を求めるということ)、a=1/105 になった とおっしゃいたいのですね。)


> 『1+A(リットル/分)』というのは、『(1)+A((1)と同じリットル量/を給水するのに何分間必要か)』ということだろうと……

ここは、日本語の言い回し的にはまだおかしいのですが、理解はしてくださっていると感じます。
『(1)+a((1)と同じ量を給水するのにかかる分数 分の 1)』
が正しい表現となります。
(1)と同じ量を給水するのにかかる分数 が15分 の場合、
『(1)+(1/15)』
ですね。実際には時間をかけるので、
1+a×t
(1)+(1/15)×t
となります。


> 「10(リットル/分)=1分間に10リットル給水できる」と特定の、具体的な能力を示すと読んではいけなくて、
10という数字が入るとしてもそれは「10×(1)(リットル/分)=1分間で(1)の10倍の量を給水できる」ということですよね……?

それは考え過ぎです。
「10(リットル/分)=1分間に10リットル給水できる」と具体的な能力を示すと読んで 良い です。
10(リットル/分)は 10(リットル/分) ですよ。問題で与えられた重要な数字です。そのまま読んでください。

ただ、部分的にリットルで考えていても、他の部分は 比率 で考える問題もあります。その場合は 何を (1) とおくか を考える必要がありますね。


「10×(1)(リットル/分)=1分間で(1)の10倍の量を給水できる」 は、
「10×(1)(    /分)=1分間で(1)の量を給水できるペースで、10分間続けると合計で10倍の量を給水できる」
という意味に見えてしまいます。
(1) に 10 をかける問題は少数派かと思います。
「10×(1/105)(    /分)=1分間で(1/105)の量を給水できるペースで、10分間続けると、1分の量の10倍の量を給水できる」
なら、おっしゃっている式のつじつまは合います。

再掲
【リットルで考える式】
もとの水量リットル数+A(リットル/分)×m(台)×t(分)=B(リットル/分)×n(台:ポンプの数)×t(分)

【比率で考える式】
もとの水量1+a( /分)×m(台)×t(分)=b( /分)×n(台)×t(分)

まあ、すごく厳密に、物理の授業みたいに単位に注目すると、
B(リットル/分)は、正確には B(リットル/分・台)ですけどね。
だから、 ×n(台)をすると (リットル/分)に変わり、
(リットル/分)に ×t(分)をすると (リットル)に変わります。


比率について理解を深めてくださるきっかけになったのなら幸いです。

投稿日時 - 2014-05-10 08:56:56

お礼

あらためて回答ありがとうございます。
100%理解できた……とはまだ言えなさそうですが、先のお礼でも書いたように引っ掛かっていた部分を呑み下すことはできそうに思います。

何度も詳細な解説や例示を戴き助かりました。
少なくとも、給排水算の問題に出くわす度に頭を抱えることはなくなりそうです(^^;)

大変お世話になりました。ありがとうございました。

投稿日時 - 2014-05-10 15:39:07

ANo.3

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回答(3)

ANo.2

補足説明ありがとうございます(#1にも空白や。でけっこうですからダミーのお礼を付けといていただけるとありがたいです)。

やはり、間違いがあったのですね (^^;)
私もよく間違うものです。

手書きに比べて、計算式は特に書き間違いしやすいですよね。
ただ、まだ 勘違い がありますよ。
それをこれからご説明します。


1+A(リットル/分:新たに流入する水量)×t(分)=B(リットル/分:1台のポンプが排出する水量)×n(台:ポンプの数)×t(分)

は残念ながら正しい式ではありません。
この式の中で 「左辺でなぜ実際の量(リットル)ではなく1とおくのでしょうか?」というのがお聞きになりたいことでしょうね。


答えは、
「体積・容積について、
リットルで解くなら 全てリットル、
1などの比で解くなら、全て比
で表して解く。
だから、1とおいている問題を見かけたとしたら、それはリットルのことは無視する解き方」
となります。


少し具体的に説明しましょう。

問題A
ある容器に、空の状態からAという種類の蛇口1本で水を入れると10分で満杯になる。
満杯の状態から、Bというポンプ1台で水を抜くと、15分かかる。
また、満杯の状態から、Cというポンプ1台で水を抜くと、20分かかる。

1)空の状態からAという種類の蛇口4本で水を入れると何分かかるか。
2)満杯の状態から、Bというポンプ1台及びCというポンプ1台で同時に水を抜くと、何分かかるか。
3)満杯の状態から、Bというポンプ2台及びCというポンプ3台で同時に水を抜くと、何分かかるか。
4)満杯の状態から、Aという蛇口2本で水を入れながら、Bというポンプ4台で水を抜くと、何分かかるか。
(ただし、水位が0になった時点でAの給水は止めるものとする。)


問題B
50cm x 80cm x 60cm の容器がある。

5)これに、空の状態から 10リットル/分 の蛇口(これをDという種類とする)1本で水を入れると何分で満杯になるか。

ここで、満杯の状態から、Eというポンプ1台で水を抜くと、15分かかる。
また、満杯の状態から、Fというポンプ1台で水を抜くと、20分かかる。

6)満杯の状態から、Eというポンプ1台及びFというポンプ1台で同時に水を抜くと、何分かかるか。
7)満杯の状態から、Dという蛇口2本で水を入れながら、Eというポンプ4台で水を抜くと、何分かかるか。


――――――――――――――――――――――――――
問題A解説
1)こういう問題では、容器の容積がわからないので 1 とおく。
Aの能力は a= 毎分 1/10

これを4本使うと 毎分 4/10
 1 ÷ (4/10) = 5/2 (=2.5分)

2)Bの能力は b= 毎分 1/15 (給水ではなく排水だが、Aと同じ表し方ができる。)
Cの能力は c= 毎分 1/20

B1台とC1台 同時の能力は b+c= 毎分 7/60
 1 ÷ (7/60) = 60/7 (=約8.6分)

3)B2台とC3台 同時の能力は 2b+3c= 毎分 17/60
(小学生の場合は2b+3cの部分は無視してください。60で通分すれば導けると思います。)
 1 ÷ (17/60) = 60/17 (=約3.5分)

4)1+(1/10)x2xt = (1/15)x4xt
これより、((4/15)-(2/10))xt =1
t=15

――――――――――――――――――――――――――
問題B解説
5)50 x 80 x 60 = 240000 cm^3 (3乗)(=240 L)
 10 L/分 = 10000 cm^3
 240000 ÷ 10000 = 24分

6)Eの能力 e= 240000 ÷ 15 = 16000 cm^3 /分 (=16 L/分)
 Fの能力 f= 240000 ÷ 20 = 12000 cm^3 /分 (=12 L/分)

 240000 ÷ (16000 x 1 +12000 x 1) = 60/7 分 (=約8.6)

または
 240 ÷ (16 x 1 +12 x 1) = 60/7 分

7)満杯の状態から、Dという蛇口2本で水を入れながら、Eというポンプ4台で水を抜くと、何分かかるか。

 240000 + 10000 x 2 xt = 16000 x 4 xt
よって
(16000 x 4 - 10000 x 2)xt = 240000
t= 60/11 (=約5.5)

または
 240 + 10 x 2 xt = 16 x 4 xt
(16 x 4 - 10 x 2)xt = 240
t= 60/11

――――――――――――――――――――――――――
ご質問に対する解説
問題Bの方で、
 240000 + 10000 x 2 xt = 16000 x 4 xt

240000 の部分を 1 とすると、
 1 + 10000 x 2 xt = 16000 x 4 xt
という式になってしまいます。
すると
 (16000 x 4 - 10000 x 2)xt = 1
という変形になりますね。
tは ものすごく小さな値になってしまいますし、そもそも 1 の単位が不明です。
理解していただきやすくするため、240 よりも、240000 の方を用いたのです。

この原因は正に、「リットルと比率(1)を混在」させてしまったせいなのです。
私が人に教える時は、こうした混同が起きないように、

「比率の数字は ○や□などの枠で囲む」

ということを推奨しています。
(1)(2)や、□1 □2 (パソコンで書けないので、想像してください)ということです。

(1) + 15(L)はおかしな計算式です。

便宜的に (1) = 15(L)という式を立てることはありますよ。そのときは (2)= 30(L)となります。
これは、X= 15、 2X=30 と解いているのと同じなのです。

しかし、X+15 と式を立てる時には、15 がリットルなら、Xもリットルでないとおかしいのです。これはある意味、180cm + 70kg = 250 という計算式がおかしいのに似ています。
同様に、(1)と□1は 足し算できないので気を付けてください。○と□は別のものを基準にしているので、足せないのです。


以上、
問題Aと問題Bを並べてみて、「1とおく問題」と「1とおかない問題」の違いを感じ取っていただけたら幸いです。
たまに両方をミックスさせた問題も出ます。その時は
 (1) = 15(L) のような置き換えの式
が必要になり、○で行くかリットルで行くか方針を決める必要があります。
ここでは、説明がややこしくなるので、ミックス問題は割愛しました。


もう2時間くらい書いているのですが、日付をまたいでしまってすみませんでした。
「公式」をよく見直してみてください、きっと、何か別の問題とミックスしているような小さな間違いがあるはずです(そもそも、正式な公式ではありませんが。誰か教師が独自に作ったのでしょう)。

修正版
もとの水量リットル数+A(リットル/分:新たに流入する水量)×t(分)=B(リットル/分:1台のポンプが排出する水量)×n(台:ポンプの数)×t(分)

及び、
もとの水量1+a(○/分)×t(分)=b(○/分)×n(台)×t(分)

下が、○(比率)で解く場合の「公式」改良版ですね。単位らしい単位はありません。1/15 の例を思い出してみてください。


お役に立てれば幸いです。

投稿日時 - 2014-05-10 00:48:34

お礼

回答ありがとうございました。丁寧な解説痛み入ります。

まず、A(リットル/分)を「新たに流入する水量」と書いたのがまだ勘違いでした。
きちんとテキストを見れば「給水能力」と書いてありました。これを「水が入って来る量」と思い違いしていたので理解がしづらかったのかと……ただ、そこを勘違いしていなくてもご説明いただかないままではまだまだ理解できずにいたと思います;

1というのは実際の数字ではなく、例の式では「元々入っていた水の量」を示す記号、ということでしょうか。
与えられていた問題を、「1」の部分を「(1)」に換えた式で解いてみたところ、同じ答えが出ました。

例えばA(リットル/分)が、「1」の式で解いた時に1/105だったとして、これは「1リットル給水するのに105分かかる」ではなく「元々入っていた水の量と同じリットル量だけ給水するのに105分かかる=1分間で、元々入っていた水の量の1/105にあたる分量の水を入れることができる」ということ、だと理解しました。
(1リットル給水するのに105分かかるのは、元々入っていた水の量が1リットルだった場合)
『1+A(リットル/分)』というのは、『(1)+A((1)と同じリットル量/を給水するのに何分間必要か)』ということだろうと……
「10(リットル/分)=1分間に10リットル給水できる」と特定の、具体的な能力を示すと読んではいけなくて、
10という数字が入るとしてもそれは「10×(1)(リットル/分)=1分間で(1)の10倍の量を給水できる」ということですよね……?
((1)に具体的なリットル数などをあてはめない限りは、10Aだとか10xと同じというか)

この理解が完全か、正直自信はありませんが、ひっかかっていた部分は呑みこめたように思います。
もしよろしければ理解があっているかどうかもう一度お返事をいただきたいところなのですが……

ともあれ、ひとまずお礼申し上げます。
かなりお時間を使わせてしまったようで申し訳ありませんでした。
回答ありがとうございました。

投稿日時 - 2014-05-10 03:13:41

ANo.1

給排水算は何度も教えたことがあります(小学生&社会人)。

どうも、おっしゃることの中に、勘違いがあるような気がしてなりません。

もとの水量を1 とおくのは、よくやることです。その水槽(お風呂やプール)の体積がわからない場合ですね。
Bタイプのポンプを使った場合に 15分で一杯にできるなら、
Bの能力は b=1/15 となります。
この場合、単位は リットル/分 ではなく、比 ですね。


書いていらっしゃった
1×A(リットル/分)×t(分)=B(リットル/分)×n(ポンプ台数)×t(分)
の左端の 1 は、
もとの水量ではなく 「流入する方の蛇口の数」 ではないですか?
A が何の量を表しているのか(流入なのか、排水なのか)がはっきりわからなかったので、
「○○をAとおくと」
というのを付け足していただくと助かります。
しかし、式の中で左辺も右辺も xt(分) で統一しているところから推察すると、

左辺は流入量
右辺は流出量(排水量)

と解釈せざるを得ませんでした。

おっしゃっている「もとの水量」というのは「水槽の容積」で合っていますよね?
左辺にだけをこれを掛け算することは、等式がおかしくなると思われます。
それが1だろうと 1000L だろうと、片方にだけ掛け算をすると、等式で結べません。
失礼ですが「1について勘違いがあるのではないか」という点について補足説明していただけませんか?


あるいは、具体的な問題を挙げていただいたら、なぜ「説明者」(本?)が1とおいたのか、その意図を説明して差し上げます。

後程また覗いてみます。

投稿日時 - 2014-05-09 22:04:48

補足

ああっ! すみません、公式を書き間違えてました;

1+A(リットル/分:新たに流入する水量)×t(分)=B(リットル/分:1台のポンプが排出する水量)×n(台:ポンプの数)×t(分)

が正しい式です。
手書きと打ち込みの勝手の違いよ……お恥ずかしい;

投稿日時 - 2014-05-09 23:05:33

お礼

まずこちらへのお礼。

投稿日時 - 2014-05-10 02:13:52

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