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解決済みの質問

cosec x + cot x ≡ cot ½ x

以前以下の質問をさせて頂きました。


Prove that cosec x + cot x ≡ cot ½ x

(1+cos x )/sinx の後2乗するなどいろいろやってみましたが出来ません。

本には(1+cos x )/sinx →(1+(2cos^2 ½x-1))/2sin½xcos½x  となっていくのですが何故この式になるのかわかりません。
この式が→ (1+cos x )/sinx 何故こうなるのか→ (1+(2cos^2 ½x-1))/2sin½xcos½x 
説明お願い出来ますか? 


これに対し親切な回答者様から以下の事を教えて頂きました。


分母は、Sin (A+B) ≡sin A cosB + cosAsinB の式を使って変形している。

分子は、cos (A+B) ≡cosAcosB - sinAsinBの式を使って変形した後、sin^2x+cos^2x=1を使ってさらに変形している。



その後自分でトライしたのですがやはり難かしくて変形する事が出来ません。  途中式を見せて頂けませんか?

投稿日時 - 2014-05-29 06:39:31

QNo.8615154

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

 cosec x + cot x ≡ cot ½ x

 左辺=(1+cos(x))/sin(x)
この分子に公式cos^2(x/2)=(1/2)(1+cos(x))を適用し
この分母に公式2sin(x/2)cos(x/2)=sin(x)を適用すると

 上式=2cos^2(x/2)/(2sin(x/2)cos(x/2)) …(※1)

この分子に1を足して1を引くと  
  =(1+(2cos^2(½x)-1))/(2sin(½x)cos(½x))
 
>説明お願い出来ますか? 
となりますが、この計算は不要でしょう?

(※1)の分子と分母を 2cos(x/2)で約分すると
 上式=cos(x/2)/sin(x/2)=cot(x/2)=左辺
(証明終り)

投稿日時 - 2014-05-29 07:32:18

お礼

詳しく説明した頂きたすかりました。

>この分子に公式cos^2(x/2)=(1/2)(1+cos(x))を適用し
この分母に公式2sin(x/2)cos(x/2)=sin(x)を適用すると

ここら辺が難かしいですがわかりました。
次回似た様なのを自分で解けるかどうかは怪しいですがちょっとづつ確実に解ける様にしていきたいです。

投稿日時 - 2014-05-29 08:38:27

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回答(2)

ANo.2

>分子のcosx=cos(x/2+x/2)=cos(x/2)cos(x/2)-sin(x/2)sin(x/2)
={cos(x/2)}^2-{sin(x/2)}^2={cos(x/2)}^2-[1-{cos(x/2)}^2]
=2{cos(x/2)}^2-1
分母のsinx=sin(x/2+x/2)=sin(x/2)cos(x/2)+cos(x/2)sin(x/2)
=2sin(x/2)cos(x/2)

投稿日時 - 2014-05-29 07:37:36

お礼

詳しく説明して下さって有難うございました。
又宜しくお願い致します。

投稿日時 - 2014-05-29 08:36:09