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数学の問題です!

xy平面において、原点を中心とする半径4の 円をC1、点(3,0)を中心とする半径1の円 をC2とする。 C1上に動点P(4cos2θ,4sin2θ )、C2上に動点Q(cos3θ+3、sin3θ)をと り、Pを通りx軸に垂直な直線とx軸との交 点をS、Qを通りx軸に垂直な直線とx軸との 交点をHとする。

(1)SとHが一致するようなcosθの値を全て求めよ


(2)線分SHの長さをLとする。たたし、SとHが一致するときL=0と約束する。
Lが正の整数値をとるような相異なるθ(0≦θ<2π)の個数を求めよ

投稿日時 - 2014-06-27 13:14:36

QNo.8655396

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回答(1)

ANo.1

(1)SとHが一致するとき      θ

4cos2θ=cos3θ+3    (1)

倍角公式cos2θ=2cos^2θ-1

三倍角公式cos3θ=4cos^3θ-3cosθ

を使ってt=cosθを用いると(1)は

4(2t^2-1)=3+4t^3-3t

整理すると

4t^3-8t^2-3t+7=0

t=1を代入すると左辺は0になるので因数分解できて

(t-1)(4t^2-4t-7)=0

4t^2-4t-7=0を満たすtは

t=1/2±√2

-1≦t=cosθ≦1であるので解は

t=1,1/2-√2

(2)

L=|4cos2θ-cos3θ+3|=|4t^3-8t^2-3t+7|

このグラフを正確に描くこと。

y=4t^3-8t^2-3t+7はt=1,1/2-√2,1/2+√2でy=0となりt=0でy=7

dy/dt=12t^2-16t-3=0よりt=-1/6で極大値7+7/27、t=3/2で極小値-2を持つ。

増減表を書いて確認すること。


Lはyのグラフの-1≦t≦1の範囲でy<0の部分をx軸に対称に折り返したもの

t=-1でL=2(y=-2)

t=1でL=0(y=0)をグラフに記入し確認すること

以上から

極大値は8より小さいので

4t^3-8t^2-3t+7=n(n=1,2,3,4,5,6,7)となるtおよび

-4t^3+8t^2+3t-7=n(n=1,2)となるtを求めθ=arccos(t)によりθに換算すればよい。

多くの場合において3次方程式が通常の解析解を求めるのは困難である。

投稿日時 - 2014-06-27 19:08:59

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