こんにちはゲストさん。会員登録(無料)して質問・回答してみよう!

解決済みの質問

数学の面積の問題

数学の面積の問題です。解説もよろしくお願いします。

下の図で、三角形ABCの3つの頂点A、B、Cは円周上にあり、AB>AC、∠ABCは90°以上の角である。
頂点Aを含まない弧BC上に2点D、EをB、D、E、Cの順に並ぶようにとる。4点B、D、E、Cは互いに一致しない。
頂点Aと点D、頂点Aと点E、点Dと点Eをそれぞれ結び、辺BCと線分ADの交点を点F、辺BCと線分AEの交点をGとする。
点Fが線分ADの中点、点Gが線分AEの中点で、辺BCが円の直径、BC=4cm、三角形ABCの面積と三角形ADEの面積の比が2:3のとき、三角形AFGの面積は何cm2か。

大変申し訳ございませんが、この投稿に添付された画像や動画などは、「BIGLOBEなんでも相談室」ではご覧いただくことができません。 OKWAVEよりご覧ください。

マルチメディア機能とは?

投稿日時 - 2014-07-24 02:34:33

QNo.8690208

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

点Fって、この円の中心になるのでは?証明は必要ですが。
だとするとADは円の直径になるので∠AEDは直角。
よってAEの長さは√(4^2-3^2)=√7
また、△AFGとADEの相似からBCとDEは並行。よって
AGとFGは直交。

また、FGの長さは3/2なので、
△AG¥FGの面積は
3/2*√7/2/2=3√7/8

投稿日時 - 2014-07-25 19:39:58

補足

私も、点Fが円の中心(ADも直径)と思うのですが、証明の仕方はあるでしょうか?

投稿日時 - 2014-07-25 23:28:07

ANo.4

このQ&Aは役に立ちましたか?

0人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています

回答(5)

ANo.5

△FACと△FDBを比較すると、
FD=FA
∠CFA=∠BFD
∠FAC=∠FBD (いずれも弦CDに対する円周角)
なので、二つの三角形は合同であり、よってFB=FC
したがってFはこの円の中心。

これでいかがでしょう?

投稿日時 - 2014-07-26 00:11:46

お礼

なるほど、それでFが円の中心(ADも直径)と証明できますね、どうも有難うございました。

投稿日時 - 2014-07-26 02:11:01

ANo.2の補足です。

三角形ADEと三角形AFGが相似であれば、相似比にかかわらず対応する角の大きさが等しくなるので
∠ADE=∠AFG
∠ADEと∠AFGは辺DEと辺FGの同位角になるので、辺DEと辺FG(BC)は平行
特に問題の場合には、点Fが線分(辺)ADの中点、点Gが線分(辺)AEの中点であることから辺DEと辺FGの比も2:1
以上は、中点連結定理を証明したことになる
既に触れたように、三角形ADEと三角形AFGで底辺を辺DEと辺FGとしたときの高さの比も2:1
また、OHは結果として辺DEの垂直二等分線となることが分かる
これは、一般的に二等辺三角形の頂点から底辺に下した垂線が、底辺の垂直二等分線になるということである

投稿日時 - 2014-07-25 04:13:09

∠ABCの大きさは無関係だと思い、解いてみました。

三角形ADEと三角形AFGは、二辺の比(2:1)とそのはさむ角の大きさが等しいので相似
三角形ABCの面積は、辺BCを底辺とし、高さをhとすると、4*h/2=2h
このhは、三角形AFGの辺FGを底辺としたときの高さでもある
三角形ADEの面積は、底辺をDEとすると前の比から高さは2hとなるので、DE*2h/2=DEh
2h:DEh=2:DE=2:3→DE=3
この円の中心O(辺BCの中点)から辺DEに下した垂線の足をHとする
直角三角形ODHと直角三角形OEHにおいて、OD=OE=2(半径)、OHは共通なので
三平方の定理によって残りの一辺の長さも等しくなる
よって、DH=EH=3/2
これからまた三平方の定理によって
(OH)^2=2^2-(3/2)^2=4-9/4=7/4→OH=√7/2
この値が前の比からhになる
よって、三角形AFGの面積は、辺FGを底辺とすると前の比から長さは3/2となるので
3/2*h/2=3/2*√7/2/2=3√7/8(cm)^2

解いてみた感想は、日頃から図形問題に慣れていないと、なかなかhの値が求まりません。

投稿日時 - 2014-07-24 18:01:27

お礼

この解き方だと、点Fが円の中心(ADも直径)と確信なくとも解けますね。どうも有難うございました。

投稿日時 - 2014-07-25 23:23:52

辺BCが円の直径ならば∠BAC=90°なので、言うまでもなく∠ABC<90°では?

投稿日時 - 2014-07-24 09:16:29

補足

これは元々、問題文の上から4行目の「・・点Fが線分ADの中点」という所までが前提で、三角形ABCが鈍角三形である図と共に示された問題中の、「辺BCが直径・・」以降の部分が追加前提での、小問の一つです。

投稿日時 - 2014-07-25 23:12:17

あなたにオススメの質問