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数学の問題がわかりません

わからないので教えて欲しいです

OA=1 OC=OD=2の直方体OABC-DEFGがあり、OAベクトル=aベクトル、OCベクトル=cベクトル、ODベクトル=dベクトルとする。辺BCを1:2に内分する点 をPとする(△EFGの 重心をQとする)

PQ=(-1/3)cベクトル+dベクトルのときPQベクトルの大きさはいくらか

また、直線PQと3点B,E,Gを通る平面との交点をRとするときのORベクトルは?

投稿日時 - 2014-08-21 22:00:17

QNo.8725403

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質問者が選んだベストアンサー

ベクトル記号の→は省略します。
点Oを原点、
点Aをx軸上、点Cをy軸上、点Dをz軸上におくと
a=(1,0,0)、c=(0,2,0)、d=(0,0,2)

するとPQ=(0,-2/3,0)+(0,0,2)
      =(0、-2/3、2)
よってその大きさは
√(4/9+4)=2√10/3

これって、辺BCを1:2に内分する点 をPとする(△EFGの
重心をQとする)
というのと矛盾しないのかな?

ということで確認してみると、
OP=c+2a/3
  =(2/3、2、0)
OQ=(OE+OF+OG)/3
  =((a+d)+(c+d)+(a+c+d))/3
  =(2a+2c+3d)/3
  =(2/3、4/3、2)
よってPQ=OQ-OP
      =(0、-2/3、2)
合ってるね。

点Rは3点B,E,Gを通る平面上にあるので、実数s、tを用いて
ER=s・EB+t・EG
  =s(c-d)+t(c-a)
  =(-t、2(s+t)、-2s)
よってOR=OE+OR
      =a+d+OR
      =(1,0,0)+(0,0,2)+(-t、2(s+t)、-2s)
      =(1-t、2(s+t)、2-2s) ・・・(1)
また、PR=u・PQ
      =(0、-2u/3、2u)  (uは実数)

よってOR=OP+PR
      =(2/3、2、0)+(0、-2u/3、2u)
      =(2/3、2-2u/3、2u) ・・・(2)
(1)と(2)は同じORなので、各成分は等しくなる。つまり
1-t=2/3
2(s+t)=2-2u/3
2-2s=2u

この連立方程式を解いてs,t,uを求めましょう。

投稿日時 - 2014-08-21 23:18:44

ANo.1

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回答(2)

ANo.2

PQ=(-1/3)cベクトル+dベクトルのときPQベクトルの大きさはいくらか
>ベクトルを↑、内積を↑・↑で表すと、
PQベクトルの大きさ=√(↑PQ・↑PQ)=√[{(-1/3)↑c+↑d}・{(-1/3)↑c+↑d}]
=√{(-1/3)↑c・(-1/3)↑c+(-1/3)↑c・↑d+↑d・(-1/3)↑c+↑d・↑d}
=√{(1/9)|↑c|^2+|↑d|^2}=√(4/9+4)=2√10/3・・・答
また、直線PQと3点B,E,Gを通る平面との交点をRとするときのORベクトルは?
>↑OP=↑c+(2/3)↑a
↑EQ=(2/3){↑EG+(1/2)↑a}=(2/3){↑c-↑a+(1/2)↑a}=(2/3)↑c-(1/3)↑a
↑OQ=↑d+↑a+↑EQ=↑d+↑a+(2/3)↑c-(1/3)↑a=↑d+(2/3)↑a+(2/3)↑c
↑PQ=↑OQ-↑OP=↑d+(2/3)↑a+(2/3)↑c-{↑c+(2/3)↑a}=↑d-(1/3)↑c
0<t<1として、↑ER=↑EB+↑BP+t↑PQ=↑c-↑d-(1/3)↑a+t{↑d-(1/3)↑c}
={1-(t/3)}↑c-(1/3)↑a+(t-1)↑d
u,vを実数として↑ER=u↑EB+v↑EG=u(↑c-↑d)+v(↑c-↑a)=(u+v)↑c-u↑d-v↑a
{1-(t/3)}↑c-(1/3)↑a+(t-1)↑d=(u+v)↑c-u↑d-v↑aの係数を比較して
1-(t/3)=u+v、-(1/3)=-v、(t-1)=-uからt=u=1/2、v=1/3
代入して↑ER=(u+v)↑c-u↑d-v↑a=(5/6)↑c-(1/2)↑d-(1/3)↑a
↑OR=↑OD+↑DE+↑ER=↑d+↑a+(5/6)↑c-(1/2)↑d-(1/3)↑a
=(2/3)↑a+(5/6)↑c+(1/2)↑d・・・答

投稿日時 - 2014-08-21 23:47:23

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