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高校数学の面積の最小問題です 3-16

△ABCの重心Gを通り辺BCと交わらない直線lで2つの部分に分けるとき、小さい方の面積が最小になるのはどのような場合か

解説は図のように各点と長さを定める(AB//EG,AC//DG)このとき、Gが重心だからAD=EG=c/3

AE=DG=b/3 AP//EGにより AP:EG=AQ:EQよってcx:c/3=by:(by-b/3)整理して 1/x+1/y=3(1)

ここで△APQ/△ABC=xyであるから xyについて考えると(1)により1/xy=1/x×(3-1/x)=-(1/x-3/2)^2+9/4

1/x>1,1/y=3-1/x>1により1<1/x<2であるから 2<1/xy<=9/4 よって1/2>xy>=4/9

ただし等号はx=y=2/3のときに成り立つ よって△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい
方は△APQで、その面積が最小になるのはl//BCの場合である

とあるのですがGが重心だからAD=EG=c/3、AE=DG=b/3 の所ですがc/3やb/3 何でそうなるのですか?

それと△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい
方は△APQで、その面積が最小になるのはl//BCの所ですが△APQが小さい方になるというのが分からないです、□PBCQの方が小さいかもしれないじゃないですか、それとl//BCになるのも分からないです

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投稿日時 - 2014-09-07 20:25:01

QNo.8746090

すぐに回答ほしいです

質問者が選んだベストアンサー

適宜 #1 の記号を使います.

「△ABCがlで分けられて出来る2つの図形のうち小さい方は△APQ」については l が 直線 BH のときとそうでないときとの比較をするのが簡単かな. 「その面積が最小になるのはl//BC」は内分比から △APQ と △ABC の関係が分かれば一瞬.

投稿日時 - 2014-09-08 15:17:19

補足

分かりました、有難うございます

投稿日時 - 2014-09-08 16:41:52

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2014-09-08 16:42:01

ANo.2

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回答(2)

とり急ぎ分かったところまで。
>Gが重心だからAD=EG=c/3、AE=DG=b/3 の所ですがc/3やb/3 何でそうなるのですか?
頂点BからGを通る中線と、ACとの交点をHとします。すると、△BGDと△BHAは相似三角形になっているということが分かると思います。以後この2つの三角形だけを見ます(別に図を描いてもらった方が分かりやすいかもしれない。)
BG:GH=2:1なので、BG:GH=2:3となります。相似三角形なので、BD:BA=2:3といえ、BD:DA=2:1と言えます。ですから、DA=1/3AB=1/3cとなります。

投稿日時 - 2014-09-07 20:59:07

補足

>BG:GH=2:3
BG:BHじゃないですか?

他の所も分かりました、是非宜しくお願いします

投稿日時 - 2014-09-07 21:12:25

お礼

御返答有難うございます

投稿日時 - 2014-09-07 21:12:34

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