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コンデンサの電流の位相が90°進む理由は?

コンデンサに交流電圧を流したときは
電流の位相が電圧の位相より90°進むと本には書かれていますが、
なぜ20度でもなければ180度でもなく90度になるのかが
全く分かりません。

教科書には位相が変わるという計算式は書かれていますが
なぜ位相が変わるのかという理由を説明してくれていません。

ピタゴラスの定理の証明のように、数式を使わないで
位相がなぜ90度進むのかという理由を
一目で見ただけで誰でも理解できるような説明が可能でしょうか。

よろしくご指導をお願いします。
.

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投稿日時 - 2015-09-02 11:33:24

QNo.9040713

mqm

困ってます

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回答(7)

No.2です。

電気回路でなくても他の物理現象でも90°ずれることが観測できます。

先ほどの手押しポンプとゴム膜の模型を実際に製作し、ゴムの張力と手押しポンプの位置が分かるように動画に撮って、グラフに描くと、位相が90°ずれることが分かりますよ。

投稿日時 - 2015-09-03 20:37:36

ANo.6

一目で理解するような説明は無理でしょう。
何故といわれても、電荷を蓄えることの出来る部品の性質を調べたら電圧と電流の位相差が90°になっているので、コンデンサとはそういうものだとしか言えません。

他の回答者の言うように、コンデンサの電荷Qと端子電圧Vとコンデンサの容量Cの間にはQ=C・Vの関係が有ります。
電荷Qはコンデンサに流れる電流を時間で積分したものなのでQ=∫ i(t)・dt です。
コンデンサに加える電圧を V(t)=sin(ωt)とすると、∫ i(t)・dt =sin(ωt) です。
この式の両辺を t で微分すると i(t)=ω・cos(ωt) =ω・sin(ωt+π/4) です。
i(t)は V(t)=sin(ωt) に対してπ/4(90°)進んでいます。

交流電圧が正弦波sin(x)で表されているのは微分が必要になるときにcos(x)で置き換えるだけで良いのでとても便利ですね。
位相が90°ずれるのは正弦波を微分した結果なんですね。
正弦波以外の電源では微分方程式を解く必要が有ります。

投稿日時 - 2015-09-03 14:14:28

ANo.5

 >なぜ位相が変わるのかという理由を説明してくれていません。
 位相が変わる(位相差ができるなどと言いますが)理由は、No.4の方の回答でお分かりいただけるかと思います。
 しかし、
 >なぜ20度でもなければ180度でもなく90度になるのかが全く分かりません。
 この理由は、コンデンサの性質ですとしか言いようがないように思います。
 コンデンサに流れる電流は、コンデンサの電圧変化の微分に比例するのです。
 電圧が、通常の交流電圧源のSIN波(正弦波)であれば電流は、SINの微分であるCOS波(余弦波)となるわけです。COS波は、SIN波より位相が90度進んでいます。
 その他に電圧が、三角波であれば電流は、方形波になり、電圧が方形波であれば電流は、パルス波になります。
 このあたりは、教科書に式を使った説明があると思います。
 なぜ微分に比例するかを、一目でわかるように説明することはできないと思います。

投稿日時 - 2015-09-03 13:43:49

 コンデンサに電荷が一切ない状態ですと、コンデンサに電源電圧だけがかかりますね。コンデンサだけだとすると、理論上、電流は無限大になります。これは考察できません。

 ですので抵抗も加えて、RC回路にしてみます。まず定電圧の直流電源で考えてみます。

 コンデンサに電荷が一切ない状態では、回路の抵抗は抵抗Rのみで決まります。なぜなら、コンデンサについてみれば、電荷が一切ないのですから、コンデンサ両極の電圧は0、電源電圧に対する寄与も0です。コンデンサに流れ込む電流は最大、コンデンサ両極の電圧は0です。

 今度はコンデンサに電荷が溜まっていくと、コンデンサの電圧も増大します。電源電圧と逆向きです。すると電流は減少します。

 コンデンサの電圧が電源と等しくなったとき、電流はもう流れません。電源電圧に対して、逆向きの電圧がかかるわけですから。電圧最大、電流0です。

 以上のことは実際には瞬時に起こります。

 電源電圧が交流の正弦波で変化する場合を考えます。直流で一瞬で起こることは、例えば家庭用電源の50~60Hzくらいでも、やはり瞬時に起こると考えて差し支えありません。。

 コンデンサの電圧は常に正弦波の交流電源電圧と等しい。じゃあ、そのときの電流は、ということになります。

 交流電源でもスイッチを入れた瞬間はちょっとややこしいので、時間が少し経って安定した状態で考えてみます。交流電源電圧とコンデンサの電圧は等しい。それなら、コンデンサの電圧も、正弦波の交流電源電圧と同期して、正弦波の電圧になっているはずです。

 ですので、コンデンサの電圧が正弦波で変化するときに、電流がどうかを考えればよいのです。正弦波の山の頂点からのスタートで考えると、電圧降下は緩やかです。コンデンサの電圧は電荷量で決まりますから、電荷の移動は少しなわけで、電流は少しだけになります。電圧最大のとき、電流は0ということです。

 しかし、正弦波はだんだん傾斜が急になります。電圧は急に下がって行くようになる、つまり電圧の変化が大きくなっていくわけです。電流は増えて行きます。正弦波が山と谷のちょうど中間、つまり電圧0になるときが電圧の変化が最大になります。つまりコンデンサの電荷の変化が最大、すなわり電流は最大になります。電圧0のとき、電流は最大ということです。

 以上、要点となるのは「電源電圧とコンデンサの電圧は常に等しい」ということです。このことから、電流がどうなるかが導き出せます。

 このようなことが起こっていますので、コンデンサの電流は、電源及びコンデンサの電圧に対して、正弦波1波長の1/4分(90度分)ずれるのです。

投稿日時 - 2015-09-02 14:00:41

ANo.3

参考 URL の「交流回路とコンデンサー」にある

 コンデンサーに蓄えられる 電荷 は Q = CV なので …
 荷の時間的な変化が電流なので …

という説明が、すべてらしい。
  

参考URL:http://applied.bpe.agr.hokudai.ac.jp/education/electronics/05.pdf

投稿日時 - 2015-09-02 12:51:30

電気の回路の多くは水の流れで表現できることが多いのですが、コンデンサについても水の動きで表現できます。

コンデンサに交流電源をつないだ回路ですね。
以下のように置き換えてみてください。

配線:水が満たされたパイプ
交流電源:手押しで押したり引いたりするポンプ
コンデンサ:パイプの途中に入れたゴム膜
手押しポンプの一往復を360度とします。
ポンプを押すと、水がコンデンサのほうに向けて動き始めます。水が動き始めた頃はゴム膜が水で押されるのでゴム膜表面にかかる圧力(電圧)はほぼ0です。水が動く速度は最大になります。(ここでの位相を0度とします)

やがてゴム膜がパンパンになると水の動きが止まり(電流ゼロ)、ゴム膜表面にかかる水圧は最大になります(電圧最大) (ここでの位相が90度です)
手押しポンプを中立位置まで戻していくと、再び水が動き始めます。水の動きが最大(電流最大)になったあたりでは、ゴム膜も動いていますので膜表面の圧力は0となります。

以下省略します。

投稿日時 - 2015-09-02 12:47:52

ANo.1

>ピタゴラスの定理の証明のように、数式を使わないで
>位相がなぜ90度進むのかという理由を
>一目で見ただけで誰でも理解できるような説明が可能でしょうか。

難しいでしょう。
なぜ90度かというと、結論としてはそう定義したからだと言えないはずです。

定性的には
位相が進むというよりも、最初は電荷がチャージされる分電流がながれますが、段々電圧が上がって電流が流れなくなるという状態で、現実には電圧の位相が遅れるのです。

インピーダンスが1/jωcなので、jがある分90度ずれます。
理想的なコンデンサではなく、抵抗分があれば90度ではなく、もう少し小さな値となります。

コイルもjωLですので、jがある分90度ずれます。
jが分母子と異なるので、コイルとコンデンサとでは逆向きにずれることになります。

投稿日時 - 2015-09-02 12:43:28

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