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公務員試験について

πa²-3√3/2a²=2π-3√3/2a²の途中式を教えてください。


問題
一辺の長さ a の正六角形と、これに外接する円で囲まれた斜線部の面積として正しいもの。
1,(π-√3)a2乗
2,(π-2√2)a2乗
3,π-√3/2 a2乗
4,2π-3√2/2 a2乗
5,2π-3√3/2 a2乗

解説
円の半径はa,円の面積はπa2乗
一辺の長さが a の正六角形の面積は一辺の長さが a の正三角形の6個分である。
1/2XaX√ 3/2aX6=3√3/2a2乗
よって斜線部の面積は
πa2乗-a2乗=2π-3√3/2a2乗

投稿日時 - 2017-06-30 07:20:32

QNo.9346761

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回答(2)

ANo.2

「(1)外接する円の面積」から、
「(2)一辺の長さ a の正六角形」を引く方向で考えてみました。


(1):円の面積は、半径×半径×円周率

  aの二乗×π

  となるかと思います。

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(2):一辺の長さ a の正六角形

 「各角度が60度の正三角形が6つある」と捉えたら、
 
 それをさらに、
 「その正三角形の半分は、直角三角形である」として捉えなおします。
 (三角形の面積: 縦×横÷2 で計算して、12個分掛け算します)

 直角三角形は、各辺の比率が、1 対 2 対 ルート3 で、

 斜辺:a (斜辺=正六角形の一辺の長さなので)

 の部分が「ルート3」の比率?の部分に該当するので、


 短辺:(1/2)×a
 長辺:ルート3×(1/2)×a

  ⇒ ((1/2)×a) × ルート3×((1/2)×aの二乗) ÷ 2
    ↑短辺部      ↑長辺部         ↑縦×横÷2の「÷2」

 正六角形は「直角三角形」が12個分として捉えられるので、
 式を整理すると、3√3/2×aの二乗

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◆結論

「(1)外接する円の面積」から、
「(2)一辺の長さ a の正六角形」を引くと、

 πa2乗-a2乗 ⇒ 2π - 3√3/2×aの2乗

 となります。
.

投稿日時 - 2017-07-01 07:22:16

まず、a2乗をa^2と表します。
円の面積はπa^2
一辺の長さが a の正三角形の面積は、a×a×sin60°/2=(√3)a^2/4
この6個分の面積は、(√3)a^2/4×6=(3√3)a^2/2
よって、求める面積は、πa^2--(3√3)a^2/2=(2π-3√3)a^2/2{=(2π-3√3)/2×a^2}

投稿日時 - 2017-06-30 09:14:56

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