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c1; x^2-106 x y+2 x+55 y^2-4 y+1=0
  (1) c1は双曲線であり,漸近線が在ると 少女A
  (2) 漸近線を求め 不定方程式(Diophantine equation)方程式
    c1∩Z^2 の全ての元を求めて下さい;
  
  c2;(-3 (x-y)+x+8))^2-(5 (x+y)-2 y+1)^2+1071=0  も ↓を問うが 「超容易だ」と 少女 B
  (1) c2は双曲線であり,漸近線が在ると 少女B
  (2) 漸近線を求め 不定方程式(Diophantine equation)方程式
    c1∩Z^2 の全ての元を求めて下さい;
    
  「c2 の双対曲線が c1 だ」 と 飯高先生が 講義で。
  
     此れを 多様な発想で 証明願います;
  
  
  

投稿日時 - 2017-08-04 22:47:07

QNo.9359381

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質問者が選んだベストアンサー

(一)
展開して,ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0の形にする
c1は展開済みなのでc2を展開する

c2;{-3(x-y)+x+8}^2-{5(x+y)-2y+1}^2+1071=0

x^2+2xy+2x-2y-54=0…(c2)

(二)
座標平行移動(x-a=X,y-b=Y)して,X,Yの1次の項を消す

c1;x^2-106xy+2x+55y^2-4y+1=0

x=X+a
y=Y+b
とすると
(X+a)^2-106(X+a)(Y+b)+2(X+a)+55(Y+b)^2-4(Y+b)+1=0
X^2-106XY+55Y^2+(2a-106b+2)X+(110b-106a-4)Y+a^2-106ab+2a+55b^2-4b+1=0…(c1')
XとYの1次の項を0にすると
2a-106b+2=0
110b-106a-4=0
↓a,bの連立1次方程式を解くと
b=1/54
a=-1/54
これを(c1')に代入すると

X^2-106XY+55Y^2+17/18=0,(X=x+1/54,Y=y-1/54)…(c1")

c2;x^2+2xy+2x-2y-54=0
x=X+a
y=Y+b
とすると
(X+a)^2+2(X+a)(Y+b)+2(X+a)-2(Y+b)-54=0
X^2+2XY+2(a+b+1)X+2(a-1)Y+a^2+2ab+2a-2b-54=0…(c2')
XとYの1次の項を0とすると
a+b+1=0
a-1=0
↓a,bの連立1次方程式を解くと
a=1
b=-2
これを(c2')に代入すると

X^2+2XY-51=0,(X=x-1,Y=y+2)…(c2")

(三)
座標変換して,XYの項を消し双曲線の判定を行う

c1":X^2-106XY+55Y^2+17/18=0

(X-53Y)^2-2754Y^2+17/18=0
1*(-2754)<0
だから
c1"は双曲線だから
c1は双曲線である

c2";X^2+2XY-51=0

(X+Y)^2-Y^2-51=0
1*(-1)<0だから
c2"は双曲線だから
c2は双曲線である

(四)
漸近線を求める

c1";X^2-106XY+55Y^2+17/18=0,(X=x+1/54,Y=y-1/54)
だから
c1の漸近線は

(x+1/54)^2-106(x+1/54)(y-1/54)+55(y-1/54)=0

c2";X^2+2XY-51=0,(X=x-1,Y=y+2)
だから
c2の漸近線は
x=1
x+2y+3=0
である

(五)
不定方程式の解を求める
(c2)

c2";X^2+2XY-51=0,(X=x-1,Y=y+2)
X^2+2XY=51
X(X+2Y)=51
X=x-1
Y=y+2
だから
(x-1)(x+2y+3)=51
=(-51)(-1)→(x,y)=(-50,23)
=(-17)(-3)→(x,y)=(-16,5)
=(-3)(-17)→(x,y)=(-2,-9)
=(-1)(-51)→(x,y)=(0,-27)
=(1)(51)→(x,y)=(2,23)
=(3)(17)→(x,y)=(4,5)
=(17)(3)→(x,y)=(18,-9)
=(51)(1)→(x,y)=(52,-27)

c2∩Z^2={(-50,23),(-16,5),(-2,-9),(0,-27),(2,23),(4,5),(18,-9),(52,-27)}

(c1)

c1";X^2-106XY+55Y^2+17/18=0

X=x+1/54
Y=y-1/54
を代入すると
(x+1/54)^2-106(x+1/54)(y-1/54)+55(y-1/54)^2+17/18=0
17(54y-1)^2-18(x-53y+1)^2=17

X=|54y-1|
Y=|x-53y+1|
とすると

17X^2-18Y^2=17…(c1"')

λ=35+6√34
実数tに対して
X(t)=(λ^t+λ^{-t})/2
Y(t)=(√34)(λ^t-λ^{-t})/12
とすると
17X(t)^2-18Y(t)^2=17
だから
すべての実数tに対して
(X(t);Y(t))は双曲線(c1"')上の点となる

X(t)=35X(t-1)+36Y(t-1)…(x1)
Y(t)=34X(t-1)+35Y(t-1)…(x2)
X(t-1)=35X(t)-36Y(t)
Y(t-1)=-34X(t)+35Y(t)
だから
(X(t);Y(t))が双曲線(c1"')上の格子点ならば
全ての整数nに対して
(X(t+n);Y(t+n))は双曲線(c1"')上の格子点となる…(x3)
(X(0);Y(0))=(1;0)は双曲線(c1"')上の格子点だから
全ての整数nに対して
(X(n);Y(n))は双曲線(c1"')上の格子点となる

双曲線(c1)に格子点(x;y)があれば
X=|54y-1|≧1
Y=|x-53y+1|≧0
とすると
(X;Y)は双曲線(c1"')上の格子点で
t=log{X+6Y/(√34)}/logλ≧0
とすると
X(t)=X
Y(t)=Y
だから
m=int(t)≧0
とすると
0≦t-m<1
(x3)から
(X(t-m);Y(t-m))も双曲線(c1"')上の格子点となる
T=t-mとする
X'(T)=logλ(λ^T-λ^{-T})/2≧0
Y'(T)=(√34)logλ(λ^T+λ^{-T})/12>0
だから0≦T<1でX(T),Y(T)は増加関数だから
1=X(0)≦X(T)<X(1)=35
0=Y(0)≦Y(T)<Y(1)=34
17{X(T)^2-1}=18Y(T)^2=0(mod17)だから
Y(T)=0(mod17),0≦Y(T)<34だから
Y(T)=0.又は.Y(T)=17
Y(T)=17を仮定すると
X(T)^2=18*17+1=307
X(T)=√307≒17.5214だから
(X(T);Y(T))が格子点である事に矛盾するから
Y(T)=0だから1≦X(T)<35だから
X(T)=1だからT=0だからt=mだから
(X(m);Y(m))=(|54y-1|;|x-53y+1|)…(x4)

X(0)=1(mod54)
X(1)=35=-19(mod54)
X(2)=19(mod54)

A=
(35,36)
(34,35)
とすると

A^3=
(-1,0.)(mod54)
(30,-1)

(x1),(x2)から
非負整数k≧0に対して
(X(k+3);Y(k+3))=A^3(X(k);Y(k))

非負整数k≧0に対して
X(k)=1(mod54)の時X(k+3)=-1(mod54)
X(k)=-1(mod54)の時X(k+3)=(-1)^2=1(mod54)
X(k)=19(mod54)の時X(k+3)=-19(mod54)
X(k)=-19(mod54)の時X(k+3)=-(-19)=19(mod54)

非負整数n≧0に対して
X(3n)=(-1)^n(mod54)
X(3n+1)=19(-1)^{n+1}(mod54)
X(3n+2)=19(-1)^n(mod54)
(x4)から
非負整数m≧0に対して
|54y-1|=X(m)
だから
X(m)=±1(mod54)
だから
X(m)=(-1)^n
m=3n
となる非負整数n≧0がある
y(n)=[1-(-1)^k{X(3n)}]/54
x(±n)=53y(n)-1±Y(3n)
とすれば
|54y(n)-1|=X(3n)
|x(±n)-53y(n)+1|=Y(3n)
だから
(x(±n),y(n))は双曲線(c1)上の格子点となる

(x(0),y(0))=(-1,0)
(x(-1),y(1))=(1655,3174)
(x(1),y(1))=(334787,3174)
…双曲線(c1)上の格子点数は∞


c1∩Z^2
=
{
(x(±n),y(n))
|
x(±n)=53y(n)-1±(√34)(α^n-α^{-n})/12
y(n)=[1-(-1)^n(α^n+α^{-n})/2]/54
α=(35+6√34)^3
nは非負整数
}

(六)
c2の双対曲線はc1になる

c2:x^2+2xy+2x-2y-54=0

c2:x^2+2y(x-1)+2x-54=0
c2の接線を
y=ax+b
としてその接点(x,y)のyをc2に代入すると
x^2+2(ax+b)(x-1)+2x-54=0
(2a+1){x+(b-a+1)/(2a+1)}^2=2b+54+(b-a+1)^2/(2a+1)
この接点のxの2次方程式は重根を持つから
2b+54+(b-a+1)^2/(2a+1)=0
a^2+106a+2ab+55+4b+b^2=0
a=-x/y
b=-1/y
とすると
(x/y)^2-106x/y+2x/y^2+55-4/y+1/y^2=0
両辺にy^2をかけると
c1:x^2-106xy+2x+55y^2-4y+1=0
だからc2の双対曲線はc1となる

投稿日時 - 2017-08-19 09:15:35

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