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解決済みの質問

一巡伝達関数の時間応答のグラフの式

一巡伝達関数の時間応答のグラフの式(と導出する方法)を教えて下さい。
まずは、添付画像をご覧ください。

自分でやってみました。
ステップ応答なので、1/sを掛けて逆ラプラス変換をするものと思っています。

途中経過は省略しますが、部分分数分解して
L^(-1) [3/s^2 + 14/(3s+6) - 13/(4s+16) + 4/(3s+15)]
= 3t + {14*exp^(-2t)}/3 - {13*exp^(-4t)}/4 + {4*exp^(-5t)}/3

このグラフを関数電卓で表示すると、振動せずに永遠に増加する関数になりました。

また、元の式に1/sを掛けたものを関数電卓で逆ラプラス変換すると、

{5*exp^(-2t)}/3 + {5*exp^(-4t)}/4 - {16*exp^(-5t)}/15 + (3t) - (37/20)

になりましたが、これも永遠に増加する関数でした。もう手を尽くしました。式をズバリ教えて下さい。

※ちなみに、この次の問題は1/sを掛けて逆ラプラス変換したら、本のグラフと一致しました。

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投稿日時 - 2019-05-05 17:40:37

QNo.9613837

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

>…反転させるために式全体に-1を掛けると、Y=-4から始まりY=0で収束するグラフになってしまいます…(Y=-5から始まると思いますよね…?)。

一巡伝達関数
 G(s)H(s) = 40(s+3)/{ s(s+2)(s+4)(s+5) }

制御系伝達関数
 G(s)H(s)/{ 1+G(s)H(s) }
 = 40(s+3)/{ s(s+2)(s+4)(s+5) }/[ 1 + 40(s+3)/{ s(s+2)(s+4)(s+5) } ]

… だというですね。
添付図図 9.4 のグラフは、「制御系伝達関数」のラプラス変換 (ステップ応答) だと思います。
  

投稿日時 - 2019-05-06 20:58:15

お礼

ベストアンサーを差し上げます。
図9.4のグラフが表示できました!

仰る通り、

制御系伝達関数
 G(s)H(s)/{ 1+G(s)H(s) }
 = 40(s+3)/{ s(s+2)(s+4)(s+5) }/[ 1 + 40(s+3)/{ s(s+2)(s+4)(s+5) } ]

を逆ラプラス変換したところ、図9.4のグラフと同じ位相だけど振幅は小さく、1に収束するグラフが描かれました。
あとは分数全体にR=5を掛けて振幅を広げ、定数となる最後の+1の部分を+5に変えて収束点を上げました。
この方法で他の問題も解いてみます。
何度も何度もありがとうございました!

投稿日時 - 2019-05-06 22:11:50

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回答(4)

ANo.4

AN0.3 の錯誤訂正。

制御系伝達関数
 G(s)H(s)/{ 1+G(s)H(s) }
 = 40(s+3)/{ s(s+2)(s+4)(s+5) }/[ 1 + 40(s+3)/{ s(s+2)(s+4)(s+5) } ]
 = 40(s+3)/{ 40(s+3) + s(s+2)(s+4)(s+5) }
… かな?
  

投稿日時 - 2019-05-06 22:03:13

ANo.2

添付図のみでは、「フィードバック制御系」の構成が不明。

おそらく、「フィードバック制御系」の伝達関数は
 G(s)H(s)/{ 1+G(s)H(s) }
で、添付図図 9.4 はその伝達関数の「ステップ応答」なのじゃありませんか?
  

投稿日時 - 2019-05-06 16:22:16

お礼

ありがとうございます!
惜しいグラフが表示されましたので、もう少しお付き合い下さい。m(_ _)m

図9.1が必要だったんですね。
この本の「公式な見本」を見つけましたので、110ページ目をご覧ください:
https://www.morikita.co.jp/data/mkj/091842mkj.pdf

演習9.1 目標値のステップ状変化
図9.1に示すフィードバック制御系において、目標値のステップ状変化に対する定常偏差e(∞)を求めよ。

[解答]
制御偏差E(s)は
E(s) = R(s) - H(s)Y(s)
であるから、外部入力信号である目標値R(s)から制御偏差E(s)までの伝達特性は、
E(s) = [1/{1 + G(s)H(s)}] * R(s)
で表される。

…ということで、自分でも計算してみました。
(1/s) * 5/[1 + {40(s+3)}/{s(s+2)(s+4)(s+5)}]
=5/[s + {40s(s+3)}/{s(s+2)(s+4)(s+5)}]
=5/[s + {40(s+3)}/{(s+2)(s+4)(s+5)}]
を関数電卓で逆ラプラス変換すると、図9.4のグラフを「上下逆さにして」(Y=0からではなく)Y=5から始まりY=0で収束するグラフになりました。
ちなみに、式は天文学的数字で、
22482499917269 * exp^(...) / 500000000000 + ...
みたいになっています。

ただ、これを反転させるために式全体に-1を掛けると、Y=-4から始まりY=0で収束するグラフになってしまいます…(Y=-5から始まると思いますよね…?)。
まず、なぜ反転しているのか、そして、Yの高さがオフセットされているのか、分かりません。

まず、上記の逆ラプラス変換で合っていますでしょうか?
何度も何度もすみませんが、よろしくお願いします。

投稿日時 - 2019-05-06 19:18:40

ANo.1

添付図の 式 (9.1.27) 乃至 (9.1.27) を勘定してるのなら、「永遠に増加する」のが当然、みたいですけど…。
 (R = 5/s)?
  

投稿日時 - 2019-05-06 13:50:57

お礼

ありがとうございます。
目指しているのは(9.1.27)ではないです。
図9.4のグラフを式で表現したいです。
(9.1.27)はきっと、図9.4の「R=5の黒い線」から「青い線」を引いた値ですよね?
この「青い線」を式で表示したいです。
G(s)H(s)に1/sを掛けて逆ラプラス変換すれば、この「青い線」になると思っているんですが、正しいですか?

投稿日時 - 2019-05-06 14:40:53

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