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数学の問題です。お願いします。

数学の問題です。お願いします。
空間内で、A(1,0,0), B(4,1,-1), C(0,-3,1), D(1,1,5)とするとき、ABCを底面とし、ADを1辺とする三角柱の体積を求めよ。

投稿日時 - 2020-05-29 12:31:55

QNo.9754531

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

A(1,0,0), B(4,1,-1), C(0,-3,1), D(1,1,5)

底面△ABC

AD
は垂直ではないので

斜角柱
となります

↑AC=C-A=(-1,-3,1)
↑AB=B-A=(3,1,-1)
↑AD=D-A=(0,1,5)

△ABCの法線(高さ方向)ベクトルを↑AHとする
斜3角柱の体積をVとする
斜3角柱の高さをhとすると

|△ABC|=(1/2)|↑AC×↑AB|

∠DAH=(高さ方向ベクトルと↑ADのなす角度)だから

h=|↑AD|cos∠DAH

V=|△ABC|h

↓|△ABC|=(1/2)|↑AC×↑AB|
↓h=|↑AD|cos∠DAH

V=(1/2)|↑AC×↑AB||↑AD|cos∠DAH

↓外積↑AC×↑ABの向きは高さ方向で
↓∠DAH=(高さ方向ベクトルと↑ADのなす角度)だから
↓外積↑AC×↑ABと↑ADの内積は
↓(↑AC×↑AB,↑AD)=|↑AC×↑AB||↑AD|cos∠DAH
↓だから

V=(1/2)(↑AC×↑AB,↑AD)
=
(1/2)
(|-3,1|,|1,-1|,|-1,-3|),(0,1,5))
(|1,-1|,|-1,3|,|3.,1.|)
=
(1/2)
((2,2,8),(0,1,5))
=
((1,1,4),(0,1,5))
=
21

投稿日時 - 2020-05-30 16:35:13

補足

丁寧な説明ありがとうございます。
わかりやすかったです!!

投稿日時 - 2020-05-30 19:07:39

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回答(4)

ANo.3

A(1,0,0), B(4,1,-1), C(0,-3,1), D(1,1,5)

底面△ABC

AD
は垂直ではないので

斜角柱
となります


↑AC=C-A=(-1,-3,1)
↑AB=B-A=(3,1,-1)
↑AD=D-A=(0,1,5)

△ABCの法線ベクトルを↑AHとする
斜3角柱の体積をVとする
斜3角柱の高さをhとすると

|△ABC|=(1/2)|↑AC×↑AB|
h=|↑AD|cos∠DAH

V
=
(1/2)|△ABC|h
=
(1/2)|↑AC×↑AB||↑AD|cos∠DAH
=
(1/2)(↑AC×↑AB,↑AD)
=
(1/2)
(|-3,1|,|1,-1|,|-1,-3|),(0,1,5))
(|1,-1|,|-1,3|,|3.,1.|)
=
(1/2)
((2,2,8),(0,1,5))
=
((1,1,4),(0,1,5))
=
21

投稿日時 - 2020-05-29 15:09:26

補足

解答ありがとうございます。
質問なのですが、ここの式のcosのところがよくわかりません。
(1/2)|↑AC×↑AB||↑AD|cos∠DAH
=
(1/2)(↑AC×↑AB,↑AD)

投稿日時 - 2020-05-30 12:08:39

ANo.2

三角柱っていうのはこういう図形ですか?
三角形ABCの面積は(1/2)√(|AB|^2*|AC|^2-(AB,AC)^2)

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投稿日時 - 2020-05-29 14:46:27

補足

問題には三角柱しか書いておらず、図形はよくわかりません。
すいません。

投稿日時 - 2020-05-30 12:09:24

ANo.1

三角形ABCを含む平面αは、
α:x+y+4z=1,
と求まり、α と点Dとの距離は 7/√2 ですから、「四面体ABCD」(三角錐)の体積は、
V=(1/3)*(三角形ABC)*(7/√2).
で計算できます。
ーーーーーーー
「三角柱」の意味がよくわかりません。

投稿日時 - 2020-05-29 13:55:55

補足

わたしも問題には三角柱と書いてあって、そこがわからないんです。

投稿日時 - 2020-05-30 12:10:35

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