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解決済みの質問

ガンマ関数について

ガンマ関数 Γ(x) = ∫(0→∞) y^(x-1)e^(-y) dy, x > 0 について,
(i) 任意の自然数 n に対し, 次の不等式が成立する事を示せ.
∫ (1→0) (1 - t^2)^ndt < ∫ (0→∞)e^-nt2dt =(1/2√n)Γ(1/2) <∫ (0→∞)(1 + t^2)^-ndt

これの解き方が知りたいです
丁寧に書いてもらえると助かります

投稿日時 - 2020-08-03 11:14:41

QNo.9780749

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

x≠0 ⇒ eˣ >1+x
∴exp(x²)>1+x²
∴1-x²<exp(-x²)<1/(1+x²)
(1-x²)ⁿ<exp(-nx²)<1/(1+x²)ⁿ
∫[0,1](1-x²)ⁿdx<∫[0,1]exp(-nx²)dx<∫[0,∞]exp(-nx²)dx<∫[0,∞]{1/(1+x²)ⁿ}dx

∴∫[0,1](1-x²)ⁿdx<∫[0,∞]exp(-nx²)dx<∫[0,∞]{1/(1+x²)ⁿ}dx

投稿日時 - 2020-08-04 05:04:09

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