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解決済みの質問

実関数のテーラー展開と複素関数のテーラー展開の違い

 実関数のテーラー展開はテーラーの定理から、複素関数のテーラー展開はコーシーの積分公式とグルサの定理から導かれますが、複素関数のテーラー展開で、実関数のときのようなラグランジュの剰余項がないのはなぜですか?

投稿日時 - 2020-09-18 14:14:16

QNo.9800953

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
に書いてある通り

1変数複素関数のテイラー展開
点aを含む開集合D⊂Cで正則な複素関数fが与えられたとき
Σ_{n=0~∞}{f^(n)(a)/n!}(z-a)^n
を関数fの点aまわりのテイラー級数という

剰余項R_nは複素線積分を用いて
R_n(z)=(z-a)^n[{n!/(2πi)}∫_{C}(f(w)/{(w-a)^(n-1)(w-z)})dw]
と表せる
{Cは点aを囲み,周および内部がDに含まれるような半時計回りの円周である}

複素関数にも剰余項はあります

投稿日時 - 2020-09-20 09:37:09

補足

 回答まことにありがとうございました。wikの記事は確認しました。
 ただ、私の手元にある5冊ある関数論の入門書にはどれも剰余項には言及すらしていません。これは何か理由があるのでしょうか?

投稿日時 - 2020-09-21 05:19:15

お礼

ありがとうございました。

投稿日時 - 2020-09-23 09:40:39

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回答(1)

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